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欧几里得《几何原本》的设準与公理(Postulates an

阅读913| 发布: 2018-01-23 15:16 | 点赞: 795

设準与公理之别已经不见于今日数学,不过,釐清它们将可大大地帮助我们进入欧几里得的几何世界之中。 

现代数学的公设主义源自古希腊欧几里得的《几何原本》。因此,吾人若有意体会数学公设系统之精神,那幺,好好地研读这一本流传仅次于《圣经》的经典作品,向欧几里得大师学习,的确是不二法门。

《几何原本》以下列五个设準(postulate)作为基础:设定下面叙述成为準则:

    从任何一点到任何一点可画一直线。且一条有限直线可以持续地延长。且以任意点为圆心及任意距离可以画圆。且凡直角都相等。且如果一条直线与另两条直线相交,若同一侧的两个内角和小于两直角,则这两条直线不断延长后(if produced indefinitely),会在内角小于两直角的那一侧相交。

设準 II 到 IV 的第一个字「且」,是连接「设定下面叙述成为準则」(Let it be postulated) 这个省略的句子)。事实上,这也是很多读者(含数学家或科普作者)经常忽略的一句话,因为如此一来,他们显然无法理解设準与公理(或共有概念)之区别,连带地,第V设準与非欧几何(non-Euclidean geometry)之古希腊联繫,也变得比较不可思议。

再看设準的内容。设準I说明了任一个点,可透过所谓的线段与任何其它的点连接。设準 II 指的是,任一个线段可以不断地延长。而此延长的结果,也代表可生成较长的线段。再根据相同的设準,此一较长的直线仍可重複地延长。我们知道设準之中「直线」一词所对应的,是现代所谓的「线段」之概念,而「直线」这个概念所意指的无限直线之概念,并未在设準出现,但它的存在性却隐含在设準 II 之中。按现代的术语改写,设準 I 与设準 II 的内容可综合如下:过任意两点可画一直线,任一条直线都是无限长的。

设準 III 所叙述的,是圆的存在性,并且,一个圆是由给定的圆心与半径所决定。我们将设準 I 到设準 III 与亚里斯多德的「特殊概念」(special notion)作一比较。根据亚里斯多德的看法,基本概念的存在性必需利用特殊概念来设定。设準I至设準 III 可视为说明线段、直线与圆(现代的概念) 等基本概念存在性的特殊概念。虽然点的存在性并没有明确地叙述,但欧几里得显然接受它的存在性。

设準 VI 与 V 的形式明显与前三个设準大不相同,欧几里得为什幺要将这五个设準放在一起之相关问题,也引发了讨论。设準 I 至设準 III 皆是说明存在性的设準,因此,它们符合亚里斯多德关于特殊概念的想法。但这并不适用于设準 IV 与设準V。在设準 IV 之中,他并未说明直角的存在性,然而,我们却被要求假设所有的直角都会相等。在设準 V 之中,我们也被要求必须接受满足某些条件的两条直线,会有一个交点。就设準IV与设準V而言,它们并不属于「共有概念」(common notion),因为它们完全属于几何学的範畴。同时,由于这些设準的目的,并非构建某些几何学基本概念的存在性或意义,因此,它们亦不是特殊概念。

如果欧几里得完全依循亚里斯多德的观点,他将必须屏除设準 IV 与设準 V。令人费解的是,他又为何执意加入这两个设準呢?答案很简单,若不接受设準 IV 与设準 V,吾人将无从建立起他的平面几何系统。另一方面,则是由于他找不到适当的证明方法,来论证设準 IV 与设準V这两个几何事实为真。所以,他别无选择地接受它们为真。又因为它们是不经证明即被接受的特定几何学性质(并且不被用应到几何学以外),因此,将它们并列于其它设準之中,也是合理的。

因此,我们可以将欧几里得所列举的设準分为两类:

另一方面,我们再回顾亚里斯多德有关演绎科学(inductive science)之要件:他认为除了设準之外,一个演绎科学应该奠基于共有概念(common notions) 或公理(axioms)。正如同我们所熟知,这些共有概念,并不单只是底蕴在某个特别科学而已,而是构成所有演绎思维的基础。为了呼应亚里斯多德,欧几里得也以共有概念作为出发点,如下所列:

    等于同量的量彼此相等。等量加等量,其和相等。等量减等量,其差相等。能重合的物,彼此相等。全体大于部份。

从上述的基础开始,欧几里得建立了《几何原本》的几何结构。为此,他试着满足亚里斯多德的要求:1. 每个新的叙述句必需被证明;2. 每个新的概念都必需被定义,更进一步地,其存在性也必需被证明。为了理解欧几里得的苦心造诣,读者不妨试着研读《几何原本》第 I 册的四十八个命题,其中主要处理了三角形的全等、平行线与面积,最终以毕氏定理和其逆定理为本册作结。

有关共有概念或公理,还有一件事值得特别在此提醒。由于这些假设为所有亚里斯多德的演绎科学所「共有」,不能为几何学所专擅,因此,读者应该可以读出其中所使用术语或名词如同量、等量、重合的物、全体以及部分等等,都不是几何名词,甚至都不是数学名词(mathematical term)。无怪乎现代数学家希尔伯特(David Hilbert)不会将这些纳入他的《几何学基础》(Foundation of Geometry, 1899)的公理系统之中。

数学知识离不开社会文化脉络,欧几里得刻意区别设準与共有概念之进路,为我们现代人提供了最好的见证!

参考书目:

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